Shallow-Water Equations (SWE)는 어떤 유체에서 압력표면(반드시는 아니나, 때때로 자유수면을 뜻한다.) 아래의 흐름을 설명하는 쌍곡선 편미분 방정식의 집합이다. (만약 점성에 의한 전단력이 고려된다면 포물선 편미분 방정식이 된다.)

단일 방향의 형태에서 SWE는 소위 Saint-Venant 방정식으로 불린다.

이러한 Saint-Venant 방정식은 Navier-Stokes 방정식을 수심(depth)에 대해 적분함으로써 유도할 수 있는데, 이 경우 수평 길이의 스케일(scale)이 연직 길이의 스케일(scale)에 비해 훨씬 더 크다.

이러한 조건 하에서 질량의 보존은 연직 방향으로의 유속에 대한 스케일이 수평에 비해 작다는 것을 의미한다.

연직 압력 gradient가 거의 정수압에 가까우며 수평 압력 gradient는 압력표면의 변위로 인해 발생함을 알 수 있으며, 이는 수평 속도장이 유체의 수심 전체에 걸쳐 일정하다는 것을 의미한다.

연직으로 적분하는 것은 연직방향의 유속이 해당 방정식으로부터 제거되도록 해준다.

결론적으로, 이러한 과정을 통해 SWE는 유도된다.

앞서, 연직으로 적분을 하여 이러한 SWE를 얻었기 때문에 본 방정식에는 연직방향의 유속 항이 존재하지 않는다.

일단 하나의 솔루션(수평방향으로의 유속과 자유수면의 변위)이 찾아진다면, 연직방향으로의 유속은 연속방정식을 통해 복구될 수 있다.

Equations

Conservative Form​

SWE는 질량보존과 선형 모멘텀 보존에 대한 방정식(Navier-Stokes Equations)들로부터 유도되어지는데, 심지어 Shallow-Water의 가정이 깨지는 도수 현상에서도 성립한다.

수평하상(바닥이 수평)인 경우에 Coriolis, 마찰과 점성력 모두를 무시할 수 있으므로, SWE는 다음과 같다.

$\frac{\partial{(\rho{\eta})}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(\rho{\eta{u}})}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(\rho{\eta{v}})}}{\partial{y}} = 0,$

$\frac{\partial{(\rho{\eta{u}})}}{\partial{t}} + \frac{\partial}{\partial{x}}\left( \rho{\eta{u^{2}}} + \frac{1}{2}{\rho{g}{\eta^{2}}}\right) + \frac{\partial{(\rho{\eta{uv}})}}{\partial{y}} = 0$

$\frac{\partial{(\rho{\eta{v}})}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(\rho{\eta{uv}})}}{\partial{x}} + \frac{\partial}{\partial{y}}\left(\rho{\eta{v^{2}}} + \frac{1}{2}{\rho{g\eta^{2}}}\right) = 0$

여기서 $\eta$는 총 유체 기둥의 높이($x$, $y$, 그리고 $t$의 함수로 표현되는 순간 유체의 깊이)이고, 2D 벡터 $(u, v)$는 유체의 수평방향의 유속으로서, 연직기둥에 걸쳐 평균적이다.

더 나아가 $g$는 중력가속도이고, $\rho$는 유체의 밀도이다.

첫 번째 방정식은 질량 보존으로부터 유도되었고, 나머지 방정식들은 모멘텀 보존으로부터 유도되었다.

References

Wikipedia